Question

如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4

3

（1）求⊙O的半径；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．（保留根号及π）

Answer 1

分析：（1）过点O作OC⊥AB于点D，交

AB

于点C，连接OB，设⊙O的半径为R，则OD=R-2，再根据垂径定理求出BD的长，由勾股定理即可得出R的值；
（2）连接OA，根据（1）中OB、BD的长求出∠BOD的度数，根据S_弓形=S_扇形OAB-S_△AOB即可得出结论．

解答：解：（1）过点O作OC⊥AB于点D，交

AB

于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r-2，
∵OC⊥AB，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×4

3

=2

3

，
在Rt△BOD中，
∵OD²+BD²=OB²，即（r-2）²+（2

3

）²=r²，解得r=4；

（2）∵由（1）可知，BD=2

3

，OB=4，
∴sin∠BOD=

BD

OB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOB=2∠BOD=120°，
∴S_弓形=S_扇形OAB-S_△AOB=

120π×4×4

360

-

1

2

×2

3

×2=

16π

3

-2

3

．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．