Question

13．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x₁，0），B（x₂，0）的距离记作AB=|x₁-x₂|；若A，B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分别是M₁、N₁、M₂、N₂，直线AN₁交BM₂于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x₁-x₂|，BQ=|y₁-y₂|，∴AB²=AQ²+BQ²=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）间的距离公式为：
（1）AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．
（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为5；
（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+{1}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理以及算术平方根的意义即可解决问题．
（2）根据两点间距离公式计算即可．
（3）把问题转化为在x轴上找一点P（x，0），到A（0，2），B（3，1）的距离之和最小，作A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求的点P．此时PA+PB最小，

解答 解：（1）∵AB²=AQ²+BQ²=|x₁-x₂|²+|y₁-y₂|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．
故答案为$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．

（2）∵A（1，-3），B（-2，1），
∴AB=$\sqrt{（1+2）^{2}+（-3-1）^{2}}$=5．
故答案为5．

（3）代数式$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+{1}^{2}}$的最小值表示在x轴上找一点P（x，0），到A（0，2），B（3，1）的距离之和最小．
如图，

作A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求的点P．此时PA+PB最小，
∵A′（0，-2），B（3，1），
∴PA+PB=PA′+PB=BA′=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+{1}^{2}}$的最小值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查最短问题、勾股定理、两点间的距离公式的应用等等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．