Question

10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在AD、BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②当CH=CB时，EC平分∠DCH；③当点H与点A重台时，BF=3；④当点H是AD中点时，EF=4$\sqrt{3}$，其中正确的结论有①②③（填写所有正确的序号）．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
（2）当CH=CB时，根据三角函数求出∠DHC=30°，根据菱形的性质，得到EC平分∠DCH，判断出②正确；
（3）点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的值，判断出③正确；
（4）过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④错误．

解答 解：∵HE∥CF，
∴∠HEF=∠EFC，
∵∠EFC=∠HFE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF，
∵FC=FH，
∴HE=CF，∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
当CH=CB时，sin∠HDC=$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴∠DHC=∠DCE=30°
∴EC平分∠DCH，故②正确；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，故③正确；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF=$\sqrt{M{F}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，故④错误；
综上所述，结论正确的有①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．