Question

6．如图，在△ABC中，∠A=β度，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A；…∠A₂₀₁₆BC与∠A₂₀₁₆CD的平分线交于点A₂₀₁₇，得∠A₂₀₁₇．则∠A₂₀₁₇=$\frac{β}{{2}^{2017}}$度．

Answer 1

分析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，从而判断出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$，然后表示出，∠A₂₀₁₇即可．

解答 解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{β}{4}$=$\frac{β}{{2}^{2}}$，
…，
∠A_n=$\frac{β}{{2}^{n}}$，
∴∠A₂₀₁₇=$\frac{β}{{2}^{2017}}$，
故答案为：$\frac{β}{{2}^{2017}}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$是解题的关键．