Question

8．已知，在平面直角坐标系中，二次函数y=-$\frac{4}{9}$（x-4）²+4与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点F，E为BD上一点，且BE：BD=1：5，P为AB上一点，且∠DPE=∠DAB，求P点坐标．

Answer 1

分析 由二次函数的性质得D（4，4），再解方程-$\frac{4}{9}$（x-4）²+4=0得到A（1，0），B（7，0），则AB=6，接着利用抛物线的对称性得到DA=DB，AF=BF=3，于是利用勾股定理可计算出BD=5，利用BE：BD=1：5可得BE=1，然后证明△ADP∽△BPE，利用相似得到AP：1=5：（6-AP），则解方程求出AP即可得到P点坐标．

解答 解：抛物线解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x-4）²+4，则D（4，4），
当y=0时，-$\frac{4}{9}$（x-4）²+4=0，解得x₁=1，x₂=7，则A（1，0），B（7，0），AB=6，
∵直线PF为抛物线对称轴，
∴DA=DB，AF=BF=3，
在Rt△BDF中，BD=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AD=BD=5，
∵BE：BD=1：5，
∴BE=1，
∵∠DPB=∠ADP+∠DAP，即∠DPE+∠EPB=∠ADP+∠DAP，
而∠DPE=∠DAB，
∴∠EPB=∠ADP，
∵DA=DB，
∴∠DAP=∠EBP，
∴△ADP∽△BPE，
∴AP：BE=AD：BP，即AP：1=5：（6-AP），解得AP=1或AP=5，
∴P点坐标为（2，0）或（6，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程的问题．也考查了相似三角形的判定与性质．