Question

（1）证明：由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数；
（2）试说明，存在最左边2009位都是1的形如

.

11…11 2009个1 *…**

的自然数（其中*代表阿拉伯数码）是完全平方数．

Answer 1

分析：（1）分0的个数为偶数个和奇数个进行讨论，当0为偶数个时，只考虑2009个1组成的数是否是完全平方数；当0为奇数个时，只考虑2009个1和1个0组成的数是否是完全平方数；由此解决问题；
（2）因为1010²=11110，101010²=1111110，…，11…11_{（2009个1）}****=11…11_{（2008个1）}0…0+1****=（1010…10+k）²（1004个10），再讨论2020…20k+k²=1****即可解答．

解答：解：（1）当数的末尾有偶数个0时，只讨论2009个1组成的数位完全平方数即可，
设为（10a+1）²=100a²+20a+1=20a（5a+1）+1，
或（10a+9）²=100a²+180a+81=20（5a+9a+4）+1，
由以上可知其十位数一定是偶数，因此2009个1组成的数不是完全平方数；
当数的末尾有奇数个0时，只讨论2009个1和1个0组成的数即可，
设为10k²，可其末尾至少有两个0，因此2009个1和1个0组成的数不是完全平方数；
综上所知，由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数；
（2）因为1010²=11110，101010²=1111110，…，
设11…11_{（2009个1）}****=11…11_{（2008个1）}0…0+1****=（1010…10+k）²（1004个10），
而2020…20k+k²=1****一定存在一个数k，例如k=5，可以使其成为完全平方数．

点评：此题主要考查完全平方数的特点：一个数的平方末尾只能是0、1、4、5、6、9，由此分析解决问题．