Question

如图，在△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y=3x-4经过点A，交y轴于C，双曲线y=

k

x

（x＞0）的图象也经过A点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O点作OD⊥AC于D点，求CD²-AD²的值；
（3）若点P是x轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得△PAQ是以AQ为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，则AM=AN，进而得出A点横纵坐标相等，进而代入一次函数解析式求出即可；
（2）利用（1）中所求出得出AD²=OA²-OD²①，CD²=OC²-OD²②，利用②-①：CD²-AD²=OC²-OA²求出即可；
（3）如图3过点B作BQ⊥x轴于点B，交双曲线于点Q，旋转到此时，射线AB交双曲线于Q时，△PAQ为等腰直角三角形，利用已知得出△AOP≌△ABQ（ASA），进而得出P，Q点坐标．

解答： 解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，
则AM=AN，
设A（a，a）代入y=3x-4中，a=3a-4，
解得：a=2，
∴A（2，2），
代入y=

k

x

中，xy=k=4，
∴y=

4

x

；

（2）∵A（2，2），
∴AO²=2²+2²=8，
又∵y=3x-4，x=0时，y=-4，
∴C（0，-4），
∴CO=4，CO²=16，
在Rt△AOD中，
AD²=OA²-OD²①，
在Rt△COD中，
CD²=OC²-OD²②，
②-①：CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8；

（3）能，
如图3过点B作BQ⊥x轴于点B，交双曲线于点Q，旋转到此时，
射线AB交双曲线于Q时，△PAQ为等腰直角三角形；
∵∠AOP=∠ABQ=45°，OA=BA，
又∵∠OAB=∠PAQ=90°，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中，

∠OAP=∠BAQ OA=AB ∠AOP=∠ABQ

，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△PAQ为等腰直角三角形，
此时x_Q=x_B=4，
∴y=

4

4

=1，
∴Q（4，1），
∴OP=QB=1，
∴P（1，0）．

点评：此题主要考查了反比例函数综合应用以及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用等知识，利用数形结合得出是解题关键．