题目内容
图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．
（1）直接写出单位正三角形的高与面积；
（2）图1中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；
（4）求出图2中四边形EFGH的面积．
分析：（1）由正三角形的边长为1，做底边上的高h，利用勾股定理可求h=
，S△=
；
（2）把平行四边形所占的网格中的正三角形数一下即可，有24个，那么S?=6
；
（3）作BC边上的高AK，垂足为K，据图可知，∠B=60°，则∠BAK=30°，由AB=6，利用勾股定理，可求BK=
，AK=
，CK=
，利用勾股定理，可求AC=
；
（4）如图，可构造平行四边形，比如以FG为对角线构造平行四边形FPGM，SFPGM=6S△，故S△FGM=3S单位正三角形，同理可得其他部分的面积，于是SEFGH=（3+4+8+9+8）×
=8
．
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
（2）把平行四边形所占的网格中的正三角形数一下即可，有24个，那么S?=6
| 3 |
（3）作BC边上的高AK，垂足为K，据图可知，∠B=60°，则∠BAK=30°，由AB=6，利用勾股定理，可求BK=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 13 |
（4）如图，可构造平行四边形，比如以FG为对角线构造平行四边形FPGM，SFPGM=6S△，故S△FGM=3S单位正三角形，同理可得其他部分的面积，于是SEFGH=（3+4+8+9+8）×
| ||
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）单位正三角形的高为
，面积为
．（1分）
（2）平行四边形ABCD含有24个单位正三角形．（2分）
其面积为24×
=6
（3分）
（3）过点A作AK⊥BC于K（如图1）．
在Rt△ACK中，AK=
，KC=
．
∴AC=
=
=
（4分）
（4）解法一：如图2所示，将四边形EFGH分割成五部分．
以FG为对角线构造平行四边形FPGM，
∵平行四边形FPGM中含有6个单位正三角形，
∴S△FGM=3S单位正三角形．
同理可得到其他四部分面积．
∴S四边形EFGH=（3+4+8+9+8）×
=8
（8分）
解法二：如图3所示，构造平行四边形EQSR．
过点F作FT⊥QG于T，则
S△FQG=
FT•QG=
×
×4=3
同理可求S△GSH=
，
S△EHR=6
，S平行四边形EQSR=18
∴S四边形EFGH=S平行四边形EQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR
=18
-3
-
-6
=8
．（8分）
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
（2）平行四边形ABCD含有24个单位正三角形．（2分）
其面积为24×
| ||
| 4 |
| 3 |
（3）过点A作AK⊥BC于K（如图1）．
在Rt△ACK中，AK=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
∴AC=
| AK2+KC2 |
(
|
| 13 |
（4）解法一：如图2所示，将四边形EFGH分割成五部分．
以FG为对角线构造平行四边形FPGM，
∵平行四边形FPGM中含有6个单位正三角形，
∴S△FGM=3S单位正三角形．
同理可得到其他四部分面积．
∴S四边形EFGH=（3+4+8+9+8）×
| ||
| 4 |
| 3 |
解法二：如图3所示，构造平行四边形EQSR．
过点F作FT⊥QG于T，则
S△FQG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
同理可求S△GSH=
| 3 |
S△EHR=6
| 3 |
| 3 |
∴S四边形EFGH=S平行四边形EQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR
=18
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题利用了正三角形的性质，勾股定理，有一个锐角是30°的直角三角形的性质，及构造平行四边求图形面积等知识．
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