Question

如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直线l与折线DC-CB交于N，与折线DA-AB交于M，与y轴交于点Q．设△BMN的面积为S．

（1）用含t的代数式表示b；
（2）确定S与t之间的函数关系式；
（3）t为何值时，S最大；
（4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；
（5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（t，0），将P点的坐标代入解析式y=x+b就可以求出结论；
（2）当0≤t≤1和1≤t≤7两种情况，根据三角形的面积公式就可以求出其函数解析式；
（3）分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7由二次函数的解析式和一次函数的解析式的性质就可以求出S的最大值；
（4）先由条件计算梯形ABCD的面积，再分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7时表示出面积建立方程求出其解即可；
（5）当△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB时根据相似三角形的性质就可以求出t值．
解答：解：（1）∵y=x+b过点P，且P（t，0），
∴0=t+b，
∴b=-t；

（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
∴D（1，3）
∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b，
∴OP=|-b|，OQ=|b|，
∴OP=OQ，
∴∠NPB=∠OPQ=45°．
过点C作CK⊥AB于K，
∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
∴Rt△CKB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°．
①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
∴BQ=7-t，
∴S=S_△NBP-S_△PMB=（7-t）×3-（1-t）（7-t），
=（7-t）（2+t），
=-t²+t+7
②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1，
∵∠NPB=∠CBO=45°，
∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，
∴NE=PB=（7-t），
∴S=×（7-t）×（7-t），
=（7-t）²；

（3）①当0≤t≤1时，
S=-t²+t+7，
=-（t-）²+，
∵a=-＜0，
∴抛物线的开口向下．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．
∵对称轴为直线t=，
∴t=1时，S_最大=9；
②当1≤t≤7时，
S=（t-7）²；
∵a=＞0，
∴抛物线的开口向上．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．
∵对称轴为直线t=7，
∴t=1时，S_最大=9，
综上所述，t=1时，S_最大=9；

（4）由题意，得
S_梯形ABCD=（3+6）×3=．
①当0≤t≤1时
S=-（t-）²+=，
解得：t=不符合0≤t≤1（舍去），
②当1≤t≤7时，
S=（t-7）²=，
解得：t=7±3
∵1≤t≤7，
∴t=7-3．

（5）当△POQ∽△PCB时，
∴，
如图1，在△CBK中，由勾股定理，得
BC=3，
∵OP=t，PQ=t，BP=7-t，
∴，
解得：t₁=0（舍去），t₂=1；
当△POQ∽△CPB时，
∴∠POQ=∠BPC=90°，
∴CP⊥AB，
∴PC=3，
∴AP=3，
∴OP=4，
∴t=4．
∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
点评：本题考查直角梯形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．