Question

4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，DC是⊙O切线，C为切点，AD⊥DC垂足为D，连结AD交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：FC=BC；
（2）若⊙O的半径等于5cm，sin∠CAB=$\frac{3}{5}$，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由DC是⊙O的切线知∠1+∠2=90°，由AB是直径知∠1+∠3=90°，得∠3=∠2=∠B，结合∠D=∠ACB=90°知∠4=∠5，从而得出答案；
（2）由AB=10、sin∠CAB=$\frac{3}{5}$得BC=6、AC=8，根据△ABC∽△ACD得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{CD}$，求得CD的长，利用勾股定理从而求得DF的长．

解答 解：（1）如图，

∵DC是⊙O切线，
∴∠OCD=90°，即∠1+∠2=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
又OC=OB，
∴∠3=∠B=∠2，
∵AD⊥DC，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴∠4=∠5，
∴CF=BC；

（2）∵OA=OB=OC=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中，FC=BC=ABsin∠BAC=10×$\frac{3}{5}$=6，
则AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
由（1）知∠2=∠B，∠5=∠4，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{CD}$，即$\frac{10}{8}$=$\frac{6}{CD}$，
解得：CD=$\frac{24}{5}$，
在Rt△CDF中，DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题主要考查切线的性质及圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握切线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．