Question

17．如图，△ABC中，DE，AD分别是AC，BC边上的高线，相交于点H，∠ABE=45°，∠CBE=∠BAD，BD=2$\sqrt{2}$，则AH=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直接利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△BCE≌△AHE（ASA），进而得出AB=AC，即可得出答案．

解答 解：∵∠ABE=45°，∠BEA=90°，
∴AE=BE，
∵∠ADC=90°，
∴∠CBE+∠BHD=90°，
∵∠BHD=∠AHE，
∴∠AHE+∠CBE=90°，
∵∠AHE+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠CBE，
在△BCE和△AHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠CBE}\\{AE=BE}\\{∠AEH=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△AHE（ASA），
AH=BC，
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE=∠HAE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AH，
∵BD=2$\sqrt{2}$，
∴AH=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出AB=AC是解题关键．