Question

3．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．
（1）PQ=EQ；
（2）FP：PC=EC：AE；
（3）FQ：BD=PQ：PD；
（4）S_△FPQ：S_△DCP=S_PEF：S_△PBC．
上述结论中，正确的有（3）（4）．

Answer 1

分析 首先延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，易得四边形BPCM是平行四边形，然后由平行线分线段成比例定理，证得AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，继而证得EF∥BC；然后由相似三角形的性质，证得结论．

解答 解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴四边形BPCM是平行四边形，
∴BP∥MC，CP∥BM，
即PE∥MC，PF∥BM，
∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，
∴AF：AB=AE：AC，
∴EF∥BC；
∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，
∴FQ：BD=EQ：CD，
∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；

∵△△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，
∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，
∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；

∵△PFQ∽△PCD，
∴FQ：CD=PQ：PD，
∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；

∵EF∥BC，
∴S_△FPQ：S_△DCP=（$\frac{PF}{PC}$）²，S_△PEF：S_△PBC=（$\frac{PF}{PC}$）²，
∴S_△FPQ：S_△DCP=S_PEF：S_△PBC．故（4）正确．
故答案为：（3）（4）．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．