Question

10．某家禽养殖场，用总长为80m的围栏靠墙（墙长为20m）围成如图所示的三块面积相等的矩形区域，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym²．
（1）请直接写出GH的长（用含x的代数式表示）
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据矩形AEHG与矩形CDEF面积以及矩形BFHG面积相等，求得AD=2DE，进而得出GH的长；
（2）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
（3）把y=-$\frac{4}{3}$x²+40x化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1））∵矩形AEHG与矩形CDEF面积以及矩形BFHG面积相等，
∴矩形AEFB面积=矩形CDEF面积的2倍，
∴AD=2DE，
∵AD=x，
∴GH=AE=2DE=$\frac{2}{3}$x；

（2）∵围栏总长为80m，故2x+$\frac{2}{3}$x+2CD=80，
则CD=40-$\frac{4}{3}$x，
故y=x（40-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+40x，
自变量x的取值范围为：15≤x＜30；

（2）由题意可得：
∵y=-$\frac{4}{3}$x²+40x=-$\frac{4}{3}$（ x²-30 x）=-$\frac{4}{3}$（ x-15）²+300，
又∵15≤x＜30，
∴当x=15时，y有最大值，最大值为300平方米．

点评 此题考查了二次函数的应用以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．