Question

13．在直角坐标系中，O为原点，A（0，4），点B在直线y=kx+6（k＞0）上，若以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，k的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 3
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 当使△AOB为直角三角形的点B有且只有三个时可知直线y=kx+6与以OA为直径的圆相切，利用锐角三角函数可求得k值．

解答 解：以点A，O，B为顶点的三角形是直角三角形，
当直角顶点是A和O时，直线y=kx+6上各存在一个点B满足条件，
要以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，直角顶点是B的△AOB只需存在一个，
所以，以OA为直径的圆C与直线y=kx+6相切，
如图，
设切点为B，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B'、D，连接CB，
在y=kx+6中令y=0，得x=6，
∴OD=6，且OC=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴CD=4，
在Rt△CDB中，BC=2，CD=4，
∴sin∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ODB'=30°，
在Rt△OB'D中，∠ODB'=30°，OD=6，
∴tan∠ODB'=$\frac{OB'}{OD}$，
∴tan30°=$\frac{OB'}{6}$，
∴OB'=6tan30°=2$\sqrt{3}$，
∵k＞0，
∴B'（-2$\sqrt{3}$，0），
将点B'（-2$\sqrt{3}$，0）代入y=kx+6中，得，-2$\sqrt{3}$k+6=0，
∴k=$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 此题试一次函数综合题，主要考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，解本题的关键是确定出满足条件的直线所在的位置，是一道基础题目．