Question

10．步彦京同学在前阶段复习中突然发现“定理”：凡三角形都是等腰三角形．
下面是步彦京同学的证明：
如图，设△ABC中∠A的平分线与边BC的垂直平分线相交于D，M是边BC垂直平分线的垂足．联结DB、DC．又过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足．由角平分线定理易知DE=DF，又易证△ADE≌△ADF从而得到AE=AF，同时由垂直平分线性质得DB=DC，然后再证明直角△BED≌直角△CFD，从而得到BE=CF，于是由等量公理得AE+BE=AF+CF，即AB=AC．因此凡三角形都是等腰三角形．
由此步彦京百思不得其解：“难道我们教材上的几何内容错了？学习如此低级错误的内容岂不误人子弟？”同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了？为什么？

Answer 1

分析 步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，由于AC=AF-CF，AB=AE+BE．只能得到AB=AC+2 CF，而没有AB=AC．

解答 解：教材内容没有错，步彦京同学错了．理由如下：
步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，
步彦京同证明AE=AF，BE=CF没有错，但此时AC=AF-CF，AB=AE+BE．只有AB=AC+2 CF，而没有AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．作图的精准与否则直接影响到结论的正确性．