Question

16．情景观察：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②线段AF与线段CE的数量关系是AF=2CE．
问题探究：
如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．
求证：AE=2CD．
拓展延伸：
如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．
要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．

Answer 1

分析 情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．
拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．

解答 解：情境观察：
①∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEB和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（HL），
∵CD⊥AB，∠BAC=45°，
∴AD=CD，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴$∠B=\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠B=22.5°，
又∵∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠BCD=∠FAD，
在△BCD和△FAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠FAD}\\{CD=AD}\\{∠CDB=∠ADF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FAD（ASA），
故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；
∵△BCD≌△FAD，
∴AF=BC，
又∵AB=AC，且AE⊥BC，
∴BC=2CE，
∴AF=2CE，
故答案为：AF=2CE．

问题探究：
延长AB、CD交于点G，如图2所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ADG}\\{AD=AD}\\{∠CAD=∠GAD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBG=90°}\\{AB=CB}\\{∠BAE=∠BCG}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CBG中（ASA），
∴AE=CG=2CD．

拓展延伸：如图3所示．作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，

∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∴∠GDC=∠BAC=45°，
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°=∠EDG，DH=CH，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=∠DEG=90°，
在△DEC和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠EDG}\\{DE=DE}\\{∠DEC=∠DEG}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△DEG（ASA），
∴DC=DG，
∵∠DHF=∠CEF=90°，∠DFH=∠CFE，
∴∠FDH=∠GCH，
在△DHF和△CHG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FDH=∠GCH}\\{DH=CH}\\{∠DHF=∠CHG=90°}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△CHG（ASA），
∴DF=CG=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．