Question

11．如图，在△ABC中，OA=OC=3，∠BOC=90°，且点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线y=-x²+bx+c恰好经过点A和点C，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为第一象限内抛物线上一点，设△ABC的面积为S₁，△BCE的面积为S₂，若S₁=2S₂，求点E的坐标；
（3）设抛物线的顶点为M，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点M关于直线AP的对称点恰好落在x轴上？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点C的坐标，然后将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值即可；
（2）先求得B的坐标为（-1，0），然后求得AB的长，设点E的坐标为（m，-m²+2m+3）．过点E作EF∥CB，交x轴与点F，过点E作EG⊥x轴与点G．由S₁=2S₂，可证明点F为AB的中点，则F（1，0），接下来，由tan∠CBO=tan∠EFG可列出关于m的方程，从而可求得m的值；
（3）先求得点M的坐标，然后再求得AM的值，然后依据轴对称图形的性质可得到AM′=AM，MD=DM′，从而可求得点M′的坐标，依据中点坐标公式可求得点D的坐标，然后设AP的解析式为y=kx+b，将点D和点A的坐标代入求得直线的解析式，然后将x=1代入可求得点P的纵坐标．

解答 解：（1）∵OA=OC=3，
∴A（3，0）、C（0，3）．
将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）把y=0代入y=-x²+2x+3中得：-x²+2x+3=0，解得x=3或x=-1，
所以点B的坐标为（-1，0）．
所以AB=3-（-1）=4，OC=3．
设点E的坐标为（m，-m²+2m+3）．
∵点E在第一象限的抛物线上，
∴0＜m＜3．
如图，过点E作EF∥CB，交x轴与点F，过点E作EG⊥x轴与点G．

∵S₁=2S₂，
∴S_△BCF=S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴点F坐标为（1，0）．
∵BC∥EF，
∴∠CBO=∠EFG．
∴tan∠CBO=tan∠EFG，即$\frac{EG}{FG}$=$\frac{OC}{OB}$=3，$\frac{-{m}^{2}+2m+3}{m-1}$=3，解得：m=3或m=2．
∵0＜m＜3，
∴m=2，则-m²+2m+3=3．
∴E（2，3）．
（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）．
由两点间的距离公式可知：AM=2$\sqrt{5}$．
如图2所示：当点M的对应点M′在A点的右侧时，则点M′的坐标（3-2$\sqrt{5}$，0）．

∵点M与点M′关于AP对称，
∴点D为MM′的中点．
∴由线段的中点坐标公式可知：D（2-$\sqrt{5}$，2）．
设PA的解析式为y=kx+b，将点D和点A的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{（2-\sqrt{5}）k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，b=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$．
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$．
当x=1时，y=$\sqrt{5}$-1．
∴点P的坐标为（1，$\sqrt{5}$-1）．
如图3所示：

∵点M与点M′关于PA对称，
∴AM=AM′，MD=M′D．
∴点M′（3+2$\sqrt{5}$，0），D（2+$\sqrt{5}$，2）．
设AP的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{（2+\sqrt{5}）k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，b=$\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$．
∴直线AP的解析式为y=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$x-$\frac{3\sqrt{5}+3}{2}$．
当x=1时，y=-$\sqrt{5}$-1．
∴点P的坐标为（1，-$\sqrt{5}$-1）．
综上所述，点P的坐标为（1，$\sqrt{5}$-1）或（1，-$\sqrt{5}$-1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，锐角三角函数的定义、轴对称图形的性质，求得直线AP的解析式是解题的关键．