Question

17．AB为⊙O的直径，点O为圆心，点C为⊙O上一点，AB垂直于过点C的切线，垂足为点D、AB的延长线交直线CD于E，连接AC过点CF⊥AB垂足为点F
（1）求证：∠ECF=2∠DAC
（2）若AD与⊙O交于点M，延长CF交⊙O于点N，求证：BM=CN．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠D=∠CFE=90°，根据相似三角形的性质得到∠FCE=∠DAE，根据切线的性质得到OC⊥DE，根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACO，求得∠DAE=2∠DAC，等量代换得到结论；
（2）连接AN，根据垂径定理得到$\widehat{CB}$=$\widehat{BN}$，根据弧、弦，圆心角的关系即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD⊥DE，CF⊥AB，
∴∠D=∠CFE=90°，
∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△CFE，
∴∠FCE=∠DAE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAE=2∠DAC，
∴∠ECF=2∠DAC；

（2）解：连接AN，
∵CF⊥AB，
∴$\widehat{CB}$=$\widehat{BN}$，
∵∠DAC=∠CAB，
∴$\widehat{CM}$=$\widehat{CB}$，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{CN}$，
∴BM=CN．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．