如图.在矩形ABCD中.AB=6cm.BC=12cm.点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向终点B移动.同时.点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.当其中一点到达终点时.另一点也停止运动.设点P运动的时间为ts．(1)t为何值时.△DPQ的面积为28cm2?(2)在点P.Q的运动过程中.是否存在某一时刻.使得△DPQ是直角三角形?若存在.请求出所有t的值,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点P运动的时间为ts．
（1）t为何值时，△DPQ的面积为28cm²？
（2）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DPQ是直角三角形？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据题意得出AP、BQ、PB、CQ的长，继而可表示出△DAP、△PBQ、△QCD的面积，再根据图形可得：矩形的面积减去周围多余三角形的面积=△DPQ的面积等于28cm²，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）假设存在，可分别根据∠PQD=90°、∠DPQ=90°、∠PDQ=90°三种情况，利用相似三角形的判定与性质求解可得．

解答解：（1）ts后AP=t，BQ=2t，
则PB=6-t，CQ=12-2t，
∴△DAP、△PBQ、△QCD的面积分别为$\frac{1}{2}$×12t、$\frac{1}{2}$×2t•（6-t）、$\frac{1}{2}$×6•（12-2t）．
根据题意，得6×12-$\frac{1}{2}$×12t-$\frac{1}{2}$×2t•（6-t）-$\frac{1}{2}$×6•（12-2t）=28，
即t²-6t+8=0，
解得：t₁=2，t₂=4，
答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于 28 cm²；

（2）存在，
①若∠PQD=90°，则∠DQC+∠PQB=90°，
又∵∠B=∠C=90°，
∴∠DQC+∠QDC=90°，
∴∠PQB=∠QDC，
∴△DQC∽△QPB，
∴$\frac{DC}{QB}=\frac{CQ}{BP}$，即$\frac{6}{2t}=\frac{12-2t}{6-t}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
②若∠DPQ=90°，则∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠BPQ=∠ADP，
∴△ADP∽△BPQ，
∴$\frac{AP}{BQ}=\frac{AD}{BP}$，即$\frac{t}{2t}=\frac{12}{6-t}$，
解得：t=-18（舍）；
③若∠PDQ=90°，显然不成立；
故当t=$\frac{3}{2}$时，△DPQ是直角三角形．