Question

数学课上，老师出示如图和下面框中条件，

同学发现两个结论：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；

②数值相等关系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)请你验证结论①和结论②成立；

(2)请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标为(1，0)”改为“A点坐标为(t，0)，(t＞0)”．其他条件不变，结冰①是否仍成立？(请说出理由)

(3)进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标为(1，0)”改为“A点坐标为(t，0)(t＞0)”．又将条件“y＝x²”改为“y＝ax²(a＞0)”其他条件不变，那么x_C、x_D和y_H有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(1，l)点D的坐标为(2，4)由点C坐标为(1，1)易得直线OC的函数解析式为y＝x，∴点M的坐标为(2，2)，∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即结论①成立；设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b，则，得，∴直线CD的函数解析式为y＝3x－2；由上述可得，点H的坐标为(0，－2)，yH＝－2，∵xC·xD＝2，xC·xD＝－yH，即结论②成立; 　　(2)结论①仍成立．∵点A的坐标为(t，0)(t＞0)，则点B坐标为(2t，0)，从而点C坐标为(t，t2)，点D坐标为(2t，4t2)，设直线OC的函数解析式为y＝kx，则t2＝kt，得k＝t，∴直线OC的函数解析式为y＝tx，设点M的坐标为(2t，y)，∵点M在直线OC上，∴当x＝2t时，y＝2t2，点M的坐标为(2t，2t2)，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝·2t2·t∶(t2＋2t2)＝2∶3，∴结论①仍成立. 　　(3)xC·xD＝－·yH．由题意，当二次函数的解析式为y＝ax2(a＞0)，且点A坐标为(t，0)(t＞0)时，点C坐标为(t，at2)，点D坐标为(2t，4at2)，设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b，则，得，∴直线CD的函数解析式为y＝3atx－2at2．则点H的坐标为(0，－2at2)，yH＝－2at2，∵xC·xD＝2t2，∴xC·xD＝－yH．