Question

8．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形；
③四边形CDFE的面积保持不变；
④△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论有（　　）个．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据全等三角形的性质判断③，求出△DEF的最小值判断④．

解答 解；连接CF．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠FCE}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；
当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，②错误；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴四边形CDFE的面积=S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACB，
∴四边形CDFE的面积保持不变，③正确；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$，
当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∴S_△CDE=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，④正确，
故选：C．

点评 本题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．