题目内容

（2009•保定二模）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，点P从点A出发沿AC边向点C以每秒1个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒1个单位的速度移动，点P、Q同时出发，设移动时间为t秒（t＞0）．
（1）求t为何值时，PQ∥AB；
（2）设△PCQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△PCQ的面积最大，最大面积是多少；
（3）设点C关于直线PQ的对称点为D，求t为何值时，四边形PCQD是正方形；
（4）当得到正方形PCQD后，点P不再沿AC边移动，但正方形PCQD沿CB边向B点以每秒1个单位的速度移动，当点Q与点B重合时，停止移动，设运动中的正方形为MNQD，正方形MNQD与Rt△ABC重合部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
分析：（1）利用PQ∥AB，得出
PC
AC
=
CQ
CB
，进而求出t的值即可；
（2）利用y=
1
2
PC×CQ得出关于t的二次函数的解析式，进而求出最值即可；
（3）利用当PC=CQ时，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，进而得出当t=3时，将△PCQ翻折得到的四边形PCQD是正方形；
（4）根据当t=6时，当6＜t≤9时，点D在Rt△ABC的外部，点M在Rt△ABC的内部，以及当9＜t≤12，点D，M都在Rt△ABC的外部分别求出即可．
解答：解：（1）由题意得出：CQ=t，PC=6-t，
∵PQ∥AB，
∴
PC
AC
=
CQ
CB
，
∴
6-t
6
=
t
12
，
∴t=4，

（2）∵y=
1
2
PC×CQ=-
1
2
t2+3t=-
1
2
（t-3）2+
9
2
；
当t=3时，△PCQ的面积最大，最大面积为：
9
2
；

（3）∵当PC=CQ时，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，
∴当t=3时，将△PCQ翻折得到的四边形PCQD是正方形；

（4）①如图1，由已知条件易知：当t=6时，正方形MNQD的顶点D到达斜边AB的中点，
∴当3≤t≤6时，正方形MNQD在Rt△ABC的内部，此时s=9；
②如图2，当6＜t≤9时，点D在Rt△ABC的外部，点M在Rt△ABC的内部，设正方形MNQD与
AB的两个交点分别是E，F，则BQ=12-t，
由题意得出：DQ∥AC，
∴
EQ
AC
=
QB
BC
，
∴
EQ
BQ
=
1
2
，
∴EQ=6-
1
2
t，
DE=3-EQ=
1
2
t-3，
而由题意得出：DF=t-6，
∴S=9-
1
2
DE×DF=-
1
4
t2+3t；
③如图3，当9＜t≤12，
点D，M都在Rt△ABC的外部，设正方形MNQD与AB的两个交点为：E，F．
由题意得出：
BQ=12-t，
∴QE=
1
2
（12-t），
∵BN=BQ+NQ=15-t，
∴FN=
1
2
（15-t），
∴S=
1
2
（QE+FN）×3=-
3
2
t+
81
4
．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
（2009•保定二模）一群小朋友阅读一批画册，如果2人合看一本，就有6人没有看的；如果3人合看一本，刚好余3本，设共有x名小朋友，y本画册，则下面所列方程组中，正确的是（　　）
（2009•保定二模）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CD切⊙O于D，则∠A的度数是
30
30
°．
（2009•保定二模）已知a=2+
2
，求（
3a
a+1
-
a
a-1
）÷
a
a2-1
的值．
（2009•保定二模）正方形ABCD中，点P是CD所在直线上一点，连接PA，分别过B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P在DC边上时，通过观察或测量，猜想线段BE、DF、EF应满足怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当点P在DC的延长线上时，通过观察或测量，猜想线段BE、DF、EF应满足怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在CD的延长线上时，线段BE、DF、EF又具有怎样的数量关系，请直接写出结论（不必进行证明）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网