Question

9．如图，∠BAC=30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为5，则AF的长10．

Answer 1

分析 连接PF，过P作PE⊥AC于E，PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到PE=PG=5，∠BAP=∠PAC=15°，
根据线段垂直平分线的性质得到AF=PF，由等腰三角形的性质得到∠PAF=∠APF=15°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接PF，过P作PE⊥AC于E，PG⊥AB于G，
∵AP平分∠BAC，PQ的最小值为5，
∴PE=PG=5，∠BAP=∠PAC=15°，
∵GF垂直平分AP，
∴AF=PF，
∴∠PAF=∠APF=15°，
∴∠PFE=∠PAF+∠APF=30°，
∴AF=PF=2PE=10，
故答案为：10．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．