Question

如图， 内接于，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接是的中点，连结．

（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；

（2）求证：；

（3）若，求的面积．

Answer 1

（1）猜想：．

证明：如图，连结OC、OD．

∵，G是CD的中点，

∴由等腰三角形的性质，有．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．

而∠CAE＝∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．

在Rt△ACE和Rt△BCF中，

∵∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，

∴Rt△ACE≌Rt△BCF  （ASA）

∴． 

 （3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H．则H为BD的中点．

∴OH＝AD，即AD=2OH．

又∠CAD＝∠BADCD=BD，∴OH=OG．

 在Rt△BDE和Rt△ADB中，

∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，

∴Rt△BDE∽Rt△ADB

∴，即

∴

又，∴．

∴                   … ①

设，则，AB=．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴．

在Rt△ABD和Rt△AFD中，

∵∠ADB=∠ADF＝90°，AD=AD，∠FAD＝∠BAD，

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．

∴AF=AB=，BD=FD．

∴CF=AF-AC=

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

      …②  

由①、②，得．

∴．解得或（舍去）．

∴

∴⊙O的半径长为．

∴