Question

19．如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长是4$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 过点M作MF⊥CD于F，根据翻折变换的性质可得MN⊥DE，然后求出∠MNF=∠DEC，再利用“角角边”证明△DCE和△MFN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=DE，再利用勾股定理列式求出DE，从而得解．

解答 解：如图，过点M作MF⊥CD于F，
易得四边形AMFD是矩形，
所以，MF=AD，
由翻折变换的性质得MN⊥DE，
∵∠CDE+∠MNF=90°，
∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠MNF=∠DEC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
∴MF=CD，
在△DCE和△MFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MNF=∠DEC}\\{∠MFN=∠C=90°}\\{MF=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△MFN（AAS），
∴MN=DE，
∵点E是BC的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm，
所以，MN的长为4$\sqrt{5}$cm．
故答案为：4$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．