Question

2．已知：抛物线y=x²+2（k+1）x+k²+2k．
（1）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线顶点为C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，求证：无论k取任何实数，△ABC的面积总为确定的值．

Answer 1

分析 （1）根据原式等于0，利用根的判别式△＞0即可得出答案；
（2）根据抛物线解析式求得电费A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式可以求得△ABC的面积．

解答 （1）解：令y=0，则x²+2（k+1）x+k²+2k=0，
∴△=4（k+1）²-4（k²+2k）=4＞0，
∴无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．

（2）证明：解方程 x²+2（k+1）x+k²+2k=0，
得 x=-k，或x=-k-2．
∴A（-k-2，0），B（-k，0）．
∴AB=2．
∴AB的中点D（-k-1，0）．
当x=-k-1时，y=-1．
∴点C的纵坐标y_c=-1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×|y_c|=1．
∴无论k取任何实数，△ABC的面积总为确定的值．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，抛物线与坐标轴交点坐标的求法，三角形的面积，难度适中．