Question

19．在平面直角坐标系中，已知点A（0，-2），B（0，4）．
（1）按照下列要求用直尺圆规画图：以AB为边作等边△ABP（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求满足（1）的点P的坐标．
（3）点C是x轴上一个动点，当∠BCA=30°时，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别以点A、B为圆心，6为半径画弧，两弧交点即为所求，据此可得；
（2）作PD⊥AB于点D，根据等边三角形的性质及勾股定理可得PD、OD的长，即可得答案；
（3）以点P′为圆心，P′A为半径作圆，与x轴交于点C，则∠BCA=30°，再根据勾股定理求得EC的长，从而得出点C的坐标．

解答 解：（1）如图，△ABP和△ABP′即为所求作等边三角形；


（2）如图，作PD⊥AB于点D，
∵△ABP为等边三角形，AB=6，
∴PD=3$\sqrt{3}$，OD=1，
∴点P的坐标为（3$\sqrt{3}$，1），
同理可得点P′的坐标为（-3$\sqrt{3}$，1）；

（3）以点P′为圆心，P′A为半径作圆，与x轴交于点C，则∠BCA=30°，
连接P′C，过点P′作P′E⊥x轴，
∵P′C=6，P′E=1，
∴EC=$\sqrt{35}$，
∴OC=$\sqrt{35}$-3$\sqrt{3}$，即点C坐标为（$\sqrt{35}$-3$\sqrt{3}$，0），
同理可得点C′的坐标为（$\sqrt{35}$+3$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题主要考查等边三角形判定与性质、勾股定理、圆周角定理等，熟练掌握圆周角定理确定点C的位置是解题的关键．