Question

如图，点P是直线l：y＝-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x²于A、B两点．

(1)若直线m的解析式为y＝-x+，求A、B两点的坐标；

(2)①若点P的坐标为(－2，t)，当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；

②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．

(3)设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意，得 　　解得， 　　∴A(，)，B(1，1)． 　　(2)①A1(－1，1)，A2(－3，9)． 　　②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H． 　　设P(，)，A(，)，∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH， 　　∴AG＝AH，PG＝BH，∴B(，)， 　　将点B坐标代入抛物线，得， 　　∵Δ＝ 　　∴无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A． 　　(3)设直线：交y轴于D，设A(，)，B(，)． 　　过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H． 　　∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°， 　　由△AGO∽△OHB，得，∴． 　　联立得，依题意，得、是方程的两根，∴，∴，即D(0，1)． 　　∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P 　　设P(，)，过点P作PQ⊥轴于Q，在Rt△PDQ中，， 　　∴．∴(舍去)，，∴P(，)． 　　∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴．