Question

5．如图所示．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）如果∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．

Answer 1

分析 （1）△BOE≌△BOA，得AO=OE，则AD与BE平行且相等，由此证得四边形ABED是平行四边形，而AB=AD，即可得出结论；
（2）已知了EC、BE的比例关系，可用未知数表示出BE、EC的长；过D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的长表示出EF、DF，进而表示出FC的长；在Rt△CFD中，根据DF、CF的长，可由勾股定理求出CD的长，进而可根据DE、EC、CD的长，由勾股定理的逆定理证得DE⊥DC．

解答 （1）证明：∵∠BAD的平分线AE交BC于点E，
∴∠BAO=∠DAO，
在△ABO与△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAO=∠DAO}&{\;}\\{AO=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，
在△BOE与△DOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OEB=∠OAD}&{\;}\\{∠OBE=∠ODA}&{\;}\\{BO=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOA（AAS），
∴BE=AD，
∵BE∥AD，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AB=AD
∴四边形ABED为菱形；
（2）证明：设DE=2a，则CE=4a，
过点D作DF⊥BC于F，如图所示：
∵∠ABC=60°，
∴∠DEF=60°，
∴∠EDF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE=a，
则DF=$\sqrt{3}$a，CF=CE-EF=4a-a=3a，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
∴DE=2a，EC=4a，CD=2$\sqrt{3}$a，
∵DE²+CD²=EC²，
∴△EDC为直角三角形，
∴ED⊥DC．

点评 此题考查了梯形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握梯形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．