Question

5．如图，∠AOB=90°，将直角三角尺的直角顶点P放在∠AOB的角平分线上，直角三角尺的两条直角边分别交OA于点C，交OB于点D，求证：PC=PD．

Answer 1

分析 过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°，由OP是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCO+∠PDO=360°-90°-90°=180°，而∠PCO+∠PCE=180°，则∠PCE=∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD．

解答 解：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，

∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCO+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
∵∠PCO+∠PCE=180°，
∴∠PCE=∠PDO，
在△PCE和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCE=∠PDF}\\{∠PEC=∠PFD}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC=PD．

点评 本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．