Question

1．△ABC中，AB=AC，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转α得到线段AD，其中0°＜α＜180°．连结BD，CD，∠DAC=m∠DBC．
（1）若∠BAC=60°，α=30°，在图1中补全图形，并写出m值．
（2）如图2，当∠BAC为钝角，∠BAC＜α时，m值是否发生改变？证明你的猜想．
（3）如图3，∠BAC=90°，∠DBC+∠DAC=45°，BD与AC相交于点O，求△COD与△AOB的面积比．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据旋转的性质得AB=AD，则AB=AD=AC，于是可判断点B、D、C在以点A为圆心、AB为半径的圆上，则根据圆周角定理可得∠DAC=2∠DBC，即有m=2；
（2）与（1）一样可判断点B、D、C在以点A为圆心、AB为半径的圆上，则根据圆周角定理可得∠DAC=2∠DBC，所以有m=2；
（3）作DH⊥AC于H，如图3，设AB=AC=AD=x，根据等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，利用（2）中的结论和∠DBC+∠DAC=45°可计算出∠DBC=15°，∠CAD=30°，则∠ABD=30°，在△ABO中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，所以OC=AC-A0=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$x，在Rt△ADH中可计算出DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，接着利用三角形面积公式可分别计算出S_△OCD=$\frac{3-\sqrt{3}}{12}$x²，S_△AOB=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²，然后计算它们的比值．

解答 解：（1）如图1，
∵线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AD，
∴AB=AD，
而AB=AC，
∴AB=AD=AC，
∴点B、D、C在以点A为圆心、AB为半径的圆上，
∴∠DAC=2∠DBC，
即m=2；
（2）m值不发生改变．理由与（1）一样；
（3）作DH⊥AC于H，如图3，设AB=AC=AD=x，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC+∠DAC=45°，
而∠DAC=2∠CBD，
∴∠DBC+2∠DBC=45°，解得∠DBC=15°，
∴∠CAD=30°，∠ABD=30°，
在△ABO中，∵∠ABO=30°，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴OC=AC-A0=x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ADH中，∵∠DAH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$x•$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{3-\sqrt{3}}{12}$x²，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²，
∴S_△OCD：S_△AOB=$\frac{3-\sqrt{3}}{12}$x²：$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．