Question

12．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²的图象上有点A和B，它们的横坐标分别是-2和1，如果∠AOB=90°，求a的值．

Answer 1

分析 把A、B两点横坐标分别代入解析式，求出纵坐标，又因为△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值．

解答 解：如图所示：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，作BC⊥AD于C．
将x=-2、x=1分别代入解析式得，y_A=4a，y_B=a．
于是AC=4a-a=3a，BC=2-（-1）=3，
所以AB²=（3a）²+3²=9a²+9，
又因为在Rt△ADO中，AO²=（4a）²+2²，
在Rt△BOE中，OB²=1²+a²
根据勾股定理，AB²=AO²+BO²
即9a²+9=a²+1+2²+（4a）²，解得a=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是作出辅助线，利用勾股定理建立起关于参数a的关系式．