Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A（0，1），B（1，0），M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P（x，y），且S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB．
（1）S_△AOB

 

S_矩形EOFP（填“＞”、“=”、“＜”），y与x的函数关系是

 

（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当x=

2

2

时，求∠MON的度数；
（3）证明：∠MON的度数为定值．

Answer 1

分析：（1）由于△AOB与矩形EOFP有公共部分五边形OEMNF，而不同的部分是△AEM、△BFN和△PMN，若比较△AOB和矩形EOFP的面积大小，只需比较不同部分的面积大小即可，由已知得S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB，故两者的面积相等；y与x的函数关系：可根据P点坐标，求出矩形EPFO的面积，根据△AOB和矩形的面积相等，即可得到关于x、y的函数关系式；
（2）将x的值代入题（1）所得的函数关系式中，即可得到y的值，也就确定了P点的坐标；过O作OH⊥AB于H，在等腰Rt△OAB中，通过解直角三角形，可求得AB、OH的长，此时发现OH=OE，则可证得Rt△EMO≌Rt△HMO，由此可得∠1=∠2，同理可证得∠3=∠4，由于∠EOF=90°，则∠2+∠3=∠MON=45°，由此得解．
（3）方法同（2）类似，可用P点的横坐标，分别表示出EM、HN的长，通过证△EMO∽△HNO，得到∠1=∠3，同理可通过证△MHO∽△NFO，得到∠2=∠4，而∠EOF=90°，即可得到∠MON=45°．

解答：解：（1）∵S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB．
∴S_△AOB=S_矩形EOFP；（1分）
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_矩形EOFP=

1

2

，
∴y与x的函数关系是y=

1

2x

；（2分）

（2）当x=

2

2

时，y=

1

2x

=

2

2

，∴点P的坐标为(

2

2

，

2

2

)．（3分）
可得四边形EOFP为正方形，过点O作OH⊥AB于H，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=1，
∴AB=

OA2+OB2

=

2

，H为AB的中点，
∴OH=

AB

2

=

2

2

．
在Rt△EMO和Rt△HMO中，

EO=HO= 2 2 OM=OM

∴Rt△EMO≌Rt△HMO．
∴∠1=∠2．（4分）
同理可证∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°．
即∠MON=45°．（5分）

（3）过点O作OH⊥AB于H，
依题意，可得OE=y=

1

2x

，EM=1-y=1-

1

2x

，OH=

2

2

，HN=HB-NB=

2

2

-

2

(1-x)，
∴

EM

OE

=

HN

OH

，∠OEM=∠OHN=90°，
∴△EMO∽△HNO，
∴∠1=∠3．（6分）
同理可证∠2=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°即∠MON=45°．（7分）

点评：此题考查了矩形、等腰直角三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质；（2）（3）题中，通过辅助线来构造出与已知和所求相关的相似或全等三角形，是解答此题的关键．