Question

如图，直线y=3x与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于点A，将直线y=3x绕着A点沿逆时针方向旋转，与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于点B，与x轴交于点C（5，0），并且2AC=3BC，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数图象与几何变换

专题：

分析：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．设A（a，3a），则k=a•3a=3a²．由AD∥BE，得出△BEC∽ADC，根据相似三角形对应边成比例得出

BE

3a

=

EC

DC

=

2

3

，那么BE=2a，求出B（

3

2

a，2a）．由2DC=3EC得到方程2（5-a）=3（5-

3

2

a），解方程求出a=2，于是k=3a²=3×2²=12．

解答：解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
设A（a，3a），则k=a•3a=3a²．
∵AD∥BE，
∴△BEC∽ADC，
∴

BE

AD

=

EC

DC

=

BC

AC

，即

BE

3a

=

EC

DC

=

2

3

，
∴BE=

2

3

•3a=2a，即B点纵坐标为2a，
∴B点横坐标为

k

2a

=

3a2

2a

=

3

2

a，
∴B（

3

2

a，2a）．
∵2DC=3EC，D（a，0），E（

3

2

a，0），C（5，0），
∴2（5-a）=3（5-

3

2

a），
解得a=2，
∴k=3a²=3×2²=12．
故答案为12．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，设A（a，3a），用含a的代数式表示D、E的坐标，进而由2DC=3EC得到方程2（5-a）=3（5-

3

2

a）是解题的关键．