Question

1．已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AD=AE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，已知AD=AE，AE⊥BE，从而可根据HL判定△ABE≌△ABD，由全等三角形的性质可得到∠EAB=∠DAB，即AB平分∠DAE；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ABD，得到∠ABE=∠ABD=∠C，根据平行线的性质得到∠EBC+∠C=∠ABE+∠ABD+∠C=180°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，又AE⊥BE，
在Rt△ABE和Rt△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ABD（HL），
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分∠DAE；
（2）△ABC是等边三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵Rt△ABE≌Rt△ABD，
∴∠ABE=∠ABD，
∴∠ABE=∠ABD=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠EBC+∠C=∠ABE+∠ABD+∠C=180°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．