Question

（2013•乐山）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=

2

x

的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=

k

x

的图象上，且OA⊥OB，cosA=

3

3

，则k的值为（　　）

• A．-3
• B．-4
• C．-

  3

• D．-2

  3

Answer 1

分析：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y=

2

x

上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．

解答：解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠EOA=90°，
∵∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠EOA=∠FBO，
∵∠BFO=∠OEA=90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO=

AO

AB

=

3

3

，
设AB=

3

，则OA=1，根据勾股定理得：BO=

2

，
∴OB：OA=

2

：1，
∴S_△BFO：S_△OEA=2：1，
∵A在反比例函数y=

2

x

上，
∴S_△OEA=1，
∴S_△BFO=2，
则k=-4．
故选B

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．