Question

11．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S₁、P₁分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K=$\frac{S}{{S}_{1}}$，K₁=$\frac{P}{{P}_{1}}$，则下面关于K、K₁的说法正确的是（　　）

• A． K、K₁均为常值
• B． K为常值，K₁不为常值
• C． K不为常值，K₁为常值
• D． K、K₁均不为常值

Answer 1

分析 根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，运用三角形中位线定理，得出S_{四边形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，进而求得K的值；再根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得出四边形EFGH的周长P₁=AC+BD，进而通过计算求得K₁不为常值．

解答 解：∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD∥FG，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD，
∴S_△AEH=$\frac{1}{4}$S_△ABD，S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
同理可得，S_△BEF+S_△DHG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴K=$\frac{S}{{S}_{1}}$=2，K为常值；
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形EFGH的周长P₁=AC+BD，
若四边形ABCD是邻边长为1和2的矩形，则K₁=$\frac{P}{{P}_{1}}$=$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
若四边形ABCD是边长为1的正方形，则K₁=$\frac{P}{{P}_{1}}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故K₁不为常值．
故选（B）

点评 本题主要考查了中点四边形的应用以及相似三角形，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；而相似三角形的面积的比等于相似比的平方．