Question

17．已知关于x的一元二次方程x²-4x-m²=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x₁、x₂满足x₁+2x₂=9，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m²＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x₁+x₂=4①、x₁•x₂=-m²②，结合x₁+2x₂=9③，可求出x₁、x₂的值，将其代入②中即可求出m的值．

解答 （1）证明：∵在方程x²-4x-m²=0中，△=（-4）²-4×1×（-m²）=16+4m²＞0，
∴该方程有两个不等的实根；

（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4①，x₁•x₂=-m²②．
∵x₁+2x₂=9③，
∴联立①③解之，得：x₁=-1，x₂=5，
∴x₁•x₂=-5=-m²，
解得：m=±$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x₁+x₂=4①、x₁+2x₂=9③，求出x₁、x₂的值．