Question

已知如图在平面直角坐标系中，点A（0，m），点D（n，0），若|m-a|+（n-b）²=0，a=b．在x轴的负半轴上有一动点B，连接AB，过点B作BC⊥AB，且BC=AB，连接DC并延长交y轴于点Q，试问当B点运动时，点Q的位置是否发生变化？请先作出判断，然后证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：设点B的坐标为（t，0），则c＜0，过点C作CE⊥x轴于E，根据AAS证明△BEC≌△AOB，得出EC=OB=-t，BE=AO=a．再求出C点坐标为（a+t，-t），又D（0，a），运用待定系数法求出直线CD的解析式为y=x-a，那么点Q的坐标为（0，-a），由此得出点Q的位置不发生变化．

解答：解：当B点运动时，点Q的位置不发生变化．理由如下：
∵|m-a|+（n-b）²=0，
∴m-a=0，n-b=0，
∴m=a，n=b，
∵a=b，
∴m=n=a=b，
∴A（0，a），D（a，0）．
设动点B的坐标为（t，0），则c＜0，过点C作CE⊥x轴于E．
在△BEC与△AOB中，

∠CBE=∠BAO=90°-∠ABO ∠BEC=∠AOB=90° BC=AB

，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∴EC=OB=-t，BE=AO=a，
∴OE=BE-OB=a+t，
∴C点坐标为（a+t，t）．
设直线CD的解析式为y=px+q，
∵C（a+t，t），D（a，0），
∴

(a+t)p+q=t ap+q=0

，解得

p=1 q=-a

，
∴直线CD的解析式为y=x-a，
当x=0时，y=-a，
∴点Q的坐标为（0，-a），
∴点Q的位置不发生变化．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，非负数的性质，难度适中．通过作辅助线得到全等三角形，进而求出C点坐标是解题的关键．