Question

13．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．
（1）当∠A=112°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A=α时，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，最后由三角形内角和定理，即可求出∠BPC的度数；
（2）先连接AP并延长至D，根据∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，求得∠1=$\frac{1}{2}$ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，最后根据三角形的外角性质，求得∠BPC的度数．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠A=112°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-112°=68°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×68°=34°，
∴∠P=180°-（∠2+∠4）=180°-34°=146°．

（2）如图，连接AP并延长至D，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠1=$\frac{1}{2}$ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BPD是△ABD的外角，
∴∠BPD=∠1+∠BAP，
同理可得∠CPD=∠3+∠CAP，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠1+∠BAP+∠3+∠CAP=$\frac{1}{2}$ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB+∠BAC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）+α=$\frac{1}{2}$（180°-α）+α=90°+$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质及角平分线的定义的综合应用，本题解法多样，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．