Question

8．如图，△AOB是等腰直角三角形，AO=AB，∠OAB=90°，C为OB上任意一点，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°．连接OD，求∠AOD的度数．

Answer 1

分析 作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，即可求出∠AOD的度数可求．

解答 解：作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
在△DFC和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠ACF}\\{∠DFC=∠CEA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，FC=AE，
∵△OAB是等腰直角三角形，AE⊥OB，
∴AE=OE，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
∴∠DOF=45°，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与等腰三角形的性质结合求解，综合性强，难度较大，正确作出辅助线构造全等的三角形是关键．