Question

如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆ACB上的动点（不与A、B两点重合），过点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交圆于点P，则点P的位置有何规律？请证明你的结论．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：常规题型

分析：连接OP，如图，根据角平分线的定义得∠PCD=∠PCO，而∠PCO=∠OPC，则∠PCD=∠OPC，根据平行线的判定得OP∥CD，由于CD⊥AB，根据平行线的性质得到OP⊥AB，然后根据垂径定理即可得到弧PA=弧PB．

解答：解：点P为半圆AB的中点．理由如下：
连接OP，如图，
∵∠OCD的平分线交圆于点P，
∴∠PCD=∠PCO，
∵OC=OP，
∴∠PCO=∠OPC，
∴∠PCD=∠OPC，
∴OP∥CD，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴弧PA=弧PB，
即点P为半圆的中点．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和平行线的判定与性质．