Question

9．设抛物线y=mx²-2mx+3（m≠0）与x轴交于点A（a，0）和B（b，0）．
（1）若a=-1，求m，b的值；
（2）若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；
（3）抛物线上有两点P（x₁，p）和Q（x₂，q），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，试比较p与q的大小．

Answer 1

分析 （1）把（-1，0）代入抛物线的解析式即可求出m的值，令y=0代入抛物线的解析式即可求出点B的坐标．
（2）易求抛物线的顶点坐标为（1，3-m），把x=1代入y=mx+n中，判断y是否等于1-3m即可．
（3）根据x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，可知P离对称轴较近，然后根据开口方向即可求出p与q的大小关系．

解答 解：（1）当a=-1时，
把（-1，0）代入y=mx²-2mx+3，
∴解得m=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
令y=0代入y=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴b=3，

（2）抛物线的对称轴为：x=1，
把x=1代入y=mx²-2mx+3，
∴y=3-m
∴抛物线的顶点坐标为（1，3-m），
把x=1代入y=mx+n，
∴y=m+n=m+3-2m=3-m
∴顶点坐标在直线y=mx+n上，

（3）∵x₁+x₂＞2，
∴x₂-1＞1-x₁，
∵x₁＜1＜x₂，
∴|x₂-1|＞|x₁-1|，
∴P离对称轴较近，
当m＞0时，
p＜q，
当m＜0时，
p＞q，

点评 本题考查抛物线的综合问题，待定系数法求解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．