Question

7．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④a+2=c．
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①首先根据抛物线开口向下，可得a＜0，然后根据x=-$\frac{b}{2a}＞0$，可得b＞0，最后二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点在x轴的正半轴，可得c＞0，所以abc＜0，据此判断即可．
②根据抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，可得2a+b=0，据此判断即可．
③根据抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点小于0，可得与x轴的另一个一个交点大于2，所以当x=2时，y＞0，据此判断即可．
④根据二次函数y=ax²+bx+c的最大值是2，可得$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=\frac{4ac-{4a}^{2}}{4a}=c-a=2$，据此判断即可．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵x=-$\frac{b}{2a}＞0$，
∴b＞0，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点在x轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴结论①不正确．

∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，
∴结论②正确．

∵抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点小于0，
∴与x轴的另一个一个交点大于2，
∴当x=2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴结论③正确．

∵2a+b=0，
∴$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=\frac{4ac-{4a}^{2}}{4a}=c-a=2$，
∴a+2=c，
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数为3个：②③④．
故选：B．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．