Question

16．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，过点P作直线DE∥AB于D，交BC于E．
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若∠ABC=30°，BD=10cm，求点P到直线BC的距离．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠DPB=∠PBC，等量代换得到∠DPB=∠ABP，得到BD=PD．于是得到结论；
（2）作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N，根据角平分线的性质得到PM=PN．根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠PBC，
又∵∠ABP=∠PBC，
∴∠DPB=∠ABP，
∴BD=PD．
同理：PE=CE，
又∵DE=PD+PE，
∴DE=BD+CE；

（2）作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N，
∵BP平分∠BAC，
∴PM=PN．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$BD=5cm，
∴PM=5cm．
即：点P到直线BC的距离为5cm．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．