Question

在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）问MB与CN的和是否为定值，若为定值请求出此值；
（2）当AM的值为

 

时，四边形ABCN为等腰梯形；
（3）当（2）的条件下，△ADN以D为旋转中心，顺时针方向旋转α度（0°＜α≤180°）．得到△A′DN′，问在旋转过程中，四边形A′ABN′能否成为特殊的四边形？若能请指出四边形A′ABN′的形状并写出旋转的角度．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由菱形的性质证明△NED≌△MEA就可以得出ND=AM，再运用等量代换就可以得出结论；
（2）由等腰梯形的性质及菱形的性质就可以得出△ADN是正三角形，就可以求出AM=ND=AD求出结论；
（3）由等边三角形的性质就可以得出当a=120°时，可以得出四边形A′ABN′为矩形，由菱形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）MB与CN的和是定值．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=2．
∴∠NDA∠DAB，∠DNE=∠AME．
∵点E是AD边的中点，
∴AE=DE．
在△NED和△MEA中，

∠NDA∠DAB ∠DNE=∠AME DE=AE

，
∴△NED≌△MEA（AAS）
∴ND=AM．
∵MB+CN=MB+ND+CD，
∴MB+CN=MB+CD+AM=CD+AB．
∴MB+CN=2+2=4；
（2）AM=2时，四边形ABCN为等腰梯形．
理由：∵四边形ABCN为等腰梯形，
∴AN=BC，AB∥CN．∠ANC=∠C，
∴∠ADN=∠DAB=60°．AN=AD．
∴△ADN为等边三角形，
∴ND=AD=2，
∴AM=2．
故答案为：2；
（3）能成为特殊的四边形是矩形．
理由：当△ADN旋转120°得到△A′DN′，
∴∠A′DA=120°，△A′DN′≌△ADN，
∴∠A′DN′=∠ADN=∠A′N′D=∠DA′N′=60°，
∴∠ADN′=180°，A′N′=AB，A′D=AD．
∴A′N′∥AB，∠DA′A=30°，
∴四边形A′ABN′为平行四边形，∠AA′N′=90°，
∴四边形A′ABN′为矩形．

点评：本题考查了菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，等腰梯形的性质的运用，矩形的判定的运用，旋转的性质的运用，解答时运用旋转的性质求解是关键．