Question

如图，在边长为a的正方形中，E、F分别为边BC和CD上的动点，当点E和点F运动时，AE和EF保持垂直．则：
①△ABE∽△FCE；
②当BE=

1

2

a时，梯形ABCF的面积最大；
③当点E运动到BC中点时，Rt△ABE∽Rt△AEF；
④当Rt△ABE∽Rt△AEF时，cos∠AFE=

1

2

其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：如图，证明∠B=∠C，∠BAE=∠CEF，得到①正确；证明S_梯形ABCF=-

1

2

λ2+

1

2

λa+

1

2

a2，由-

1

2

＜0，得到当λ=-

1 2 a

2×(- 1 2 )

=

1

2

a时，梯形ABCF的面积最大，得到②正确；证明

AB

BE

=

AE

EF

，由∠B=∠AEF=90°，得到Rt△ABE∽Rt△AEF，故③正确；证明cos∠AFE=cos∠AEB=

BE

AE

≠

1

2

，故④不正确．

解答：解：如图，∵四边形ABCD为正方形，且AE⊥EF，
∴∠B=∠AEF=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEF，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△FCE，故①正确；
设BE=λ，则EC=a-λ；
∵△ABE∽△FCE，
∴

AB

CE

=

BE

CF

，故CF=-

λ2

a

+λ；
∴S_梯形ABCF=

1

2

(-

λ2

a

+λ+a)a
=-

1

2

λ2+

1

2

λa+

1

2

a2，
∵-

1

2

＜0，
∴当λ=-

1 2 a

2×(- 1 2 )

=

1

2

a时，梯形ABCF的面积最大．
故②正确．
∵△ABE∽△ECF，
∴

AB

CE

=

AE

EF

；
若点E为BC的中点，则BE=CE，
∴

AB

BE

=

AE

EF

，而∠B=∠AEF=90°，
∴Rt△ABE∽Rt△AEF，故③正确；
∴∠AFE=∠AEB，
∴cos∠AFE=cos∠AEB=

BE

AE

≠

1

2

，
故④不正确．
故答案为①②③．

点评：该题以正方形为载体，以正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的考查为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．