题目内容
在?ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图①）．（1）在图①中画图探究：
①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连接EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
【答案】分析：①由CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，易得EF∥CD，设直线FG1与直线CD的交点为H，根据旋转的性质得到∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC，根据等角的余角相等得到∠G1EF=∠P1EC，易证得△G1EF≌△P1EC，则∠G1FE=∠P1CE，而EC⊥CD有∠P1CE=90°，则∠FHC=90°，即可得到FG1⊥CD；
②与①一样易证得△G2EF≌△P2EC，则∠G2FE=∠P2CE，而EC⊥CD有∠P2CE=90°，则∠G2FE=90°，则点G1、F、G2共线，于是得到G1G2⊥CD．
解答：
解：①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．理由如下：
∵CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴∠CEF=90°，
∴EF∥CD，
如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H，
∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，
∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC，
∵∠G1EF=90°-∠P1EF，∠P1EC=90°-∠P1EF，
∴∠G1EF=∠P1EC，
∴△G1EF≌△P1EC，
∴∠G1FE=∠P1CE，
又∵EC⊥CD，
∴∠P1CE=90°，
∴∠G1FE=90°．
∴∠FHC=90°，
∴FG1⊥CD．
②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质以及解决探究问题的能力．
②与①一样易证得△G2EF≌△P2EC，则∠G2FE=∠P2CE，而EC⊥CD有∠P2CE=90°，则∠G2FE=90°，则点G1、F、G2共线，于是得到G1G2⊥CD．
解答：
解：①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．理由如下：∵CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴∠CEF=90°，
∴EF∥CD，
如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H，
∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，
∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC，
∵∠G1EF=90°-∠P1EF，∠P1EC=90°-∠P1EF，
∴∠G1EF=∠P1EC，
∴△G1EF≌△P1EC，
∴∠G1FE=∠P1CE，
又∵EC⊥CD，
∴∠P1CE=90°，
∴∠G1FE=90°．
∴∠FHC=90°，
∴FG1⊥CD．
②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质以及解决探究问题的能力．
练习册系列答案
单元期中期末卷系列答案
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