Question

3．如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将$\widehat{BC}$沿弦BC翻折，交AB于点D．
（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；
（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，
①求证：△BDE是等腰三角形；
②求△BDE的面积；
（3）将图1中的$\widehat{BD}$沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的$\widehat{BD}$的中点，直接写出∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）如图所示：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，然后证明$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，则可得到$\widehat{AC}$的弧度，从而可求得∠B的度数；
（2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由等弧所对的圆周角相等可得到∠CEB=∠E′，依据圆内接四边形的性质可得到E′=∠BDE，故此可证明∠CEB=∠BDE；②连接OE．先证明∠BOE为直角，依据勾股定理可求得BE的长，从而得到BD的长，最后依据△DBE的面积=$\frac{1}{2}$BD•OE求解即可；
（3）将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DF}$=$\widehat{FB}$，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．

解答 解：（1）如图所示：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆．

∵$\widehat{AC}$与$\widehat{CD}$所对的角均为∠CBA，⊙O与⊙O′为等圆，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．
又∵CD=BC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$．
又∵$\widehat{CDB}$=$\widehat{CO′B}$，
∴$\widehat{AC}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{ACB}$，
∴∠ADC=$\frac{1}{3}$×180°=60°．
∴∠B=30°．

（2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．

由翻折的性质可知：$\widehat{CFB}$=$\widehat{CDB}$，
∴∠CEB=∠E′．
∵四边形CDBE′是圆内接四边形，
∴∠E′=∠BDE．
∴∠CEB=∠BDE．
∴BE=BD．
∴△BDE为等腰三角形．
②如图2所示：连接OE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BCE=45°．
∴∠BOE=90°．
在Rt△OBE中，BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∴BD=5$\sqrt{2}$．
∴△DBE的面积=$\frac{1}{2}$BD•OE=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$．

（3）将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．

∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．
同理：$\widehat{DF}$=$\widehat{CD}$．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴$\widehat{DF}$=$\widehat{BF}$．
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DF}$=$\widehat{FB}$．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．
∴∠B=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．