Question

我市准备在相距2千米的A、B两地间修一条笔直的公路，A地是一所中学．B地是一桥，但在桥的北偏东60°方向，学校的北偏西45°方向的C处，是一个以C为圆心半径为0.6千米的圆形旧住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区内是否有居民住宅需要搬迁？（）

Answer 1

解：过点C作CD⊥AB于D，
由题意得：∠CBD=90°-60°=30°，∠CAD=90°-45°=45°，
∴在Rt△ACD中，AD==CD，
在Rt△BCD中，BD==CD，
∵AB=AD+BD=2千米，
∴CD+CD=2，
解得：CD=-1≈0.732（千米）＞0.6千米．
∴修的公路不会穿越小区，
∴该小区居民不需搬迁．
分析：根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=2千米，过点C作CD⊥AB于D，可得方程CD+CD=2，解此方程即可求得CD的长，比较CD与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．
点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．